Construction and equivalence for generalized boolean functions

Abstract Recently in Çeşmelioğlu, Meidl ( Adv. Math. Commun., 18 , 2024), the study of EA-equivalence and CCZ-equivalence for functions from $${\mathbb {V}}_n^{(p)}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msubsup> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:math> to the cyclic group $${\mathbb {Z}}_{p^k}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>Z</mml:mi> <mml:msup> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msup> </mml:msub> </mml:math> has been initiated, where $$ {\mathbb {V}}_n^{(p)}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msubsup> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:math> denotes an n -dimensional vector space over $${\mathbb {F}}_p$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> . Amongst others it has been shown that there exist functions from $${\mathbb {V}}_n^{(2)}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msubsup> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:math> to $${\mathbb {Z}}_4$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>Z</mml:mi> <mml:mn>4</mml:mn> </mml:msub> </mml:math> which are CCZ-equivalent but not EA-equivalent. We extend these results to larger classes of functions from $${\mathbb {V}}_n^{(p)}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msubsup> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:math> to $${\mathbb {Z}}_{p^k}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>Z</mml:mi> <mml:msup> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msup> </mml:msub> </mml:math> . We then discuss constructions of generalized bent functions from $${\mathbb {V}}_n^{(p)}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msubsup> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:math> to $${\mathbb {Z}}_{p^k}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>Z</mml:mi> <mml:msup> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msup> </mml:msub> </mml:math> , p odd or $$p=2$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> and n is even, which correspond to large affine spaces of bent functions. In particular we employ versions of the direct sum, the semi-direct sum and of a recent secondary bent function construction in Wang et. al., ( IEEE Trans. Inform. Theory 69 , 2023), to generate large affine spaces of bent functions. Finally we present a solution for constructing generalized bent functions from $${\mathbb {V}}_n^{(2)}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msubsup> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:math> to $${\mathbb {Z}}_{2^k}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>Z</mml:mi> <mml:msup> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msup> </mml:msub> </mml:math> , n odd, from arbitrary generalized bent functions from $${\mathbb {V}}_{n-1}^{(2)}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msubsup> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:math> to $${\mathbb {Z}}_{2^{k-1}}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>Z</mml:mi> <mml:msup> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mrow> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:msub> </mml:math> .