Asymptotic formula for large eigenvalues of the two-photon quantum Rabi model

We prove that the spectrum of the two-photon quantum Rabi Hamiltonian consists of two eigenvalue sequences <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> </mml:msubsup> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:msubsup> </mml:math> , <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> </mml:msubsup> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:msubsup> </mml:math> satisfying a three-term asymptotic formula with the remainder estimate <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>O</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo form="prefix">ln</mml:mo> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> when <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:math> tends to infinity. By analogy to the one-photon quantum Rabi model, the leading three terms of this asymptotic formula, describe a generalized rotating-wave approximation for large eigenvalues of the two-photon quantum Rabi model.