Spectral Mean Flow and Variance Dynamics of Completely Monotone Functions

[English] We study functions representable as finite positive mixtures of exponential modes, F(t) = sum_k a_k exp(-lambda_k t), and their associated effective rate r(t) = -F'(t)/F(t). We prove four exact results. (1) A universal variance identity: r'(t) = -Var_t(lambda) <= 0, so r(t) decreases monotonically from r(0) toward the slowest mode p (stable fixed point); the fastest mode q is unstable. (2) A spectral support characterisation: if the measure is supported in [p,q] and Var_t(lambda) = (r-p)(q-r) for all t, then the measure is supported on exactly {p,q}, so F(t) = A exp(-pt) + B exp(-qt). The quadratic closure forces bi-atomicity. (3) A cumulant hierarchy: r^(n)(t) = (-1)^n kappa_{n+1}(t). (4) A hidden-coordinate representation: r = (p+qz)/(1+z) with z(t) = (B/A)exp(-(q-p)t) — the Riccati dynamics is the projective image of a simple exponential flow. This provides a dynamical interpretation of hazard-rate evolution in exponential mixtures. [Français] Nous étudions les fonctions représentables comme mélanges positifs finis de modes exponentiels et le taux effectif r(t) = -F'(t)/F(t). Nous établissons quatre résultats exacts. (1) Une identité de variance universelle : r'(t) = -Var_t(lambda) <= 0, donc r(t) décroît de r(0) vers le mode lent p (point fixe stable) ; le mode rapide q est instable. (2) Une caractérisation du support spectral : si la mesure est supportée dans [p,q] et si Var_t(lambda) = (r-p)(q-r) pour tout t, alors la mesure est supportée sur exactement {p,q}, donc F(t) = A exp(-pt) + B exp(-qt). La fermeture quadratique force la bi-atomicité. (3) Une hiérarchie de cumulants : r^(n)(t) = (-1)^n kappa_{n+1}(t). (4) Une représentation par coordonnée cachée : r = (p+qz)/(1+z) avec z(t) = (B/A)exp(-(q-p)t) — la dynamique de Riccati est l'image projective d'un flot exponentiel simple. [Español] Estudiamos funciones representables como mezclas positivas finitas de modos exponenciales y la tasa efectiva r(t) = -F'(t)/F(t). Demostramos cuatro resultados exactos. (1) Una identidad de varianza universal: r'(t) = -Var_t(lambda) <= 0, por lo que r(t) decrece desde r(0) hacia el modo lento p (punto fijo estable); el modo rápido q es inestable. (2) Una caracterización del soporte espectral: si la medida está soportada en [p,q] y Var_t(lambda) = (r-p)(q-r) para todo t, entonces la medida está soportada en exactamente {p,q}, luego F(t) = A exp(-pt) + B exp(-qt). El cierre cuadrático fuerza la bi-atomicidad. (3) Una jerarquía de cumulantes: r^(n)(t) = (-1)^n kappa_{n+1}(t). (4) Una representación por coordenada oculta: r = (p+qz)/(1+z) con z(t) = (B/A)exp(-(q-p)t). [Deutsch] Wir untersuchen Funktionen, die als endliche positive Mischungen exponentieller Moden darstellbar sind, sowie die zugehörige effektive Rate r(t) = -F'(t)/F(t). Wir beweisen vier exakte Resultate. (1) Eine universelle Varianzidentität: r'(t) = -Var_t(lambda) <= 0, d.h. r(t) fällt monoton von r(0) zum langsamen Modus p (stabiler Fixpunkt); der schnelle Modus q ist instabil. (2) Eine Charakterisierung des Spektralträgers: ist das Maß auf [p,q] getragen und gilt Var_t(lambda) = (r-p)(q-r) für alle t, so ist das Maß genau auf {p,q} getragen, also F(t) = A exp(-pt) + B exp(-qt). Der quadratische Abschluss erzwingt Bi-Atomizität. (3) Eine Kumulantenhierarchie: r^(n)(t) = (-1)^n kappa_{n+1}(t). (4) Eine verborgene-Koordinaten-Darstellung: r = (p+qz)/(1+z) mit z(t) = (B/A)exp(-(q-p)t). [Português] Estudamos funções representáveis como misturas positivas finitas de modos exponenciais e a taxa efetiva r(t) = -F'(t)/F(t). Provamos quatro resultados exatos. (1) Uma identidade de variância universal: r'(t) = -Var_t(lambda) <= 0, logo r(t) decresce de r(0) em direção ao modo lento p (ponto fixo estável); o modo rápido q é instável. (2) Uma caracterização do suporte espectral: se a medida está suportada em [p,q] e Var_t(lambda) = (r-p)(q-r) para todo t, então a medida está suportada em exatamente {p,q}, portanto F(t) = A exp(-pt) + B exp(-qt). O fechamento quadrático força a bi-atomicidade. (3) Uma hierarquia de cumulantes: r^(n)(t) = (-1)^n kappa_{n+1}(t). (4) Uma representação por coordenada oculta: r = (p+qz)/(1+z) com z(t) = (B/A)exp(-(q-p)t). [Italiano] Studiamo funzioni rappresentabili come miscele positive finite di modi esponenziali e il tasso effettivo r(t) = -F'(t)/F(t). Dimostriamo quattro risultati esatti. (1) Un'identità di varianza universale: r'(t) = -Var_t(lambda) <= 0, quindi r(t) decresce da r(0) verso il modo lento p (punto fisso stabile); il modo rapido q è instabile. (2) Una caratterizzazione del supporto spettrale: se la misura è supportata in [p,q] e Var_t(lambda) = (r-p)(q-r) per ogni t, allora la misura è supportata esattamente su {p,q}, quindi F(t) = A exp(-pt) + B exp(-qt). La chiusura quadratica forza la bi-atomicità. (3) Una gerarchia di cumulanti: r^(n)(t) = (-1)^n kappa_{n+1}(t). (4) Una rappresentazione per coordinata nascosta: r = (p+qz)/(1+z) con z(t) = (B/A)exp(-(q-p)t). [中文] 我们研究可表示为有限正指数模式混合的函数及其有效速率 r(t) = -F'(t)/F(t)。我们证明四个精确结果。(1) 普适方差恒等式:r'(t) = -Var_t(lambda) <= 0,故 r(t) 从 r(0) 单调递减趋向慢模式 p(稳定不动点);快模式 q 为不稳定不动点。(2) 谱支撑刻画定理:若测度支撑于 [p,q] 且对所有 t 有 Var_t(lambda) = (r-p)(q-r),则测度支撑恰好在 {p,q} 上,从而 F(t) = A exp(-pt) + B exp(-qt)。二次闭合强制双原子性。(3) 累积量层次:r^(n)(t) = (-1)^n kappa_{n+1}(t)。(4) 隐坐标表示:r = (p+qz)/(1+z),z(t) = (B/A)exp(-(q-p)t)。 [日本語] 指数モードの有限正混合として表現可能な関数と有効レート r(t) = -F'(t)/F(t) を研究する。四つの厳密な結果を証明する。(1) 普遍的分散恒等式:r'(t) = -Var_t(lambda) <= 0、よって r(t) は r(0) から遅いモード p(安定不動点)へ単調減少する;速いモード q は不安定不動点。(2) スペクトル台の特徴づけ:測度が [p,q] に台をもち、すべての t に対して Var_t(lambda) = (r-p)(q-r) が成立するならば、測度は恰好 {p,q} に台をもつ、すなわち F(t) = A exp(-pt) + B exp(-qt)。二次閉包は双原子性を強制する。(3) キュムラント階層:r^(n)(t) = (-1)^n kappa_{n+1}(t)。(4) 隠れ座標表現:r = (p+qz)/(1+z)、z(t) = (B/A)exp(-(q-p)t)。 [Русский] Мы изучаем функции, представимые как конечные положительные смеси экспоненциальных мод, и связанную эффективную скорость r(t) = -F'(t)/F(t). Доказываются четыре точных результата. (1) Универсальное тождество дисперсии: r'(t) = -Var_t(lambda) <= 0, то есть r(t) монотонно убывает от r(0) к медленной моде p (устойчивая неподвижная точка); быстрая мода q — неустойчивая точка. (2) Характеризация спектрального носителя: если мера сосредоточена на [p,q] и Var_t(lambda) = (r-p)(q-r) для всех t, то мера сосредоточена ровно на {p,q}, откуда F(t) = A exp(-pt) + B exp(-qt). Квадратичное замыкание вынуждает двухатомность. (3) Иерархия кумулянтов: r^(n)(t) = (-1)^n kappa_{n+1}(t). (4) Скрытая координата: r = (p+qz)/(1+z), z(t) = (B/A)exp(-(q-p)t). [العربية] ندرس الدوال القابلة للتمثيل كمزيج موجب منتهٍ من الأنماط الأسية والمعدل الفعلي r(t) = -F'(t)/F(t). نثبت أربعة نتائج دقيقة. (1) هوية التباين العالمية: r'(t) = -Var_t(lambda) <= 0، أي أن r(t) يتناقص بصورة رتيبة من r(0) نحو النمط البطيء p (النقطة الثابتة المستقرة)؛ النمط السريع q نقطة غير مستقرة. (2) توصيف الحامل الطيفي: إذا كان الحامل في [p,q] وتحقق Var_t(lambda) = (r-p)(q-r) لكل t، فإن الحامل يقع بالضبط على {p,q}، ومن ثم F(t) = A exp(-pt) + B exp(-qt). الإغلاق التربيعي يفرض الثنائية الذرية. (3) التسلسل الهرمي للمجموعات: r^(n)(t) = (-1)^n kappa_{n+1}(t). (4) تمثيل الإحداثي المخفي: r = (p+qz)/(1+z)، z(t) = (B/A)exp(-(q-p)t).